1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.空间中点、直线、平面的向量表示 一、学习目标 课程标准 学科素养 1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系． 3．会用待定系数法求平面的法向量． 4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 1. 数学抽象.; 2. 直观想象； 3. 数学运算。 二、预习提纲：（阅读教材P26P28，完成下列填空，在教材相应位置进行标注后，识记相关内容） 1.空间中点的位置向量 如图所示，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P可以用来表示，我们把称为点P的 . 2.空间中直线的向量表示式P A B 如图(1)，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a， 设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知， 点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ta，即= t. 进一步地，如图(2)，取定空间中的任意一点O，可以得到： P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+t ① 将= a代入 ①式，得 ② ①式和②式都称为空间直线l的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 【思考交流】直线的方向向量是不是唯一的？ 3.空间中平面的向量表示式 (1)平面ABC的向量表示式：取定空间任意一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是 存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定， 可以表示为集合. 【思考交流】平面的法向量是不是唯一的？ 名师点津：平面的法向量及其求法，在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量=(a₁ ,b₁ ,c₁),=(az,b₂ ,cz). (3)根据法向量的定义建立关于x,y,x 的方程组 . (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量. 三、合作探究，深度学习 学习目标一： 求直线的方向向量 例1 ⑴ ⑵ 已知直线l的方向向量,且过点, 两点， 则 , 学习目标二： 求平面的法向量 例2 如图1.4 -7，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点. 以D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量; (2)求平面MCA1的法向量. 四、归纳小结： 1.知识点: 2.方法技巧： 3.数学思想： 五、当堂检测： 1.判断下列命题是否正确(正确的画“ √”,错误的画"×”) (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量（ ） (2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量。（ ） (3)在空间直角坐标系中，=(0，0，1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( ) 2.已知点，，，则平面ABC的一个法向量为( ) 3.已知直线l1的方向向量，直线l2的方向向量，若，且， 则的值是 参考答案： 二、预习提纲 1.位置向量 2.=+t 【思考交流】 提示：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量。解题时，可以选取坐标最简的方向向量。 3.【思考交流】提示：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线。 在应用时，可以根据需要进行选取. 三、合作探究，深度学习 例1 ⑴ 或 ⑵ 例2 课本P28例1 例3 五、当堂检测： 1. 判断 (1) √ (2) × (3) √ 2. 3. 第4页（共5页） 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $