专题11.2 与三角形有关角的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题11.2 与三角形有关角的几何综合 【典例1】【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明． 【简单应用】（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角， ①若，，则的度数为___________； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示） （5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________． 【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②由①的结论即可得到数量关系； （3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②与（3）中①相同； （4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：如图1中， ∵，，， ∴； （2）解：①如图2中， 设，， 则有， ∴， ∴， ∴； ②由①得：； （3）解：①如图3中，设，， 则有， ∴， ∴； 故答案为： ； ②设， 则有， ∴； （4）解：如图4中，设，，则，， 则有， ∴ ， ∴， 故答案为； （5）解：如图5中，延长交于J，设， 则有， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 1．（2023春·全国·七年级专题练习）探究： （1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+∠A． （2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论． 2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，与的角平分线交于点. （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，与的角平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点，则 . 4．（2023春·七年级课时练习）阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 5．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数． （2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 6．（2023春·七年级单元测试）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 由（1）的结论得： ①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D ∴∠P