4.1.2 指数（第二课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 高中数学/人教A版/必修一 …… 知识篇 素养篇 思维篇 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 目前我们将 ax (x＞０)中的指数x的取值范围从整数拓展到了有理数． 当指数x是无理数时，ax 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？ 根据的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？ 1 探究与发现 －2 由图表可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，51.415，51.4143，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数． 一般地，无理数指数幂xα(x＞0，α为无理数)是一个确定的实数． 2 无理数指数幂 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质． 计算下列各式： 练一练 (1); (2) . 答案：(1) 64m3 (2) 1 知识篇 素养篇 思维篇 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 例1.计算： (-3)÷2 3 无理数指数幂的运算 答案： - 练一练 答案： 化简： 2 ÷4×3 (a>0,b>0) 例2.计算： ×(-)0 + - 答案：2 3 无理数指数幂的运算 练一练 答案： 2 计算： - -(+1)0 + 例3.解下列方程： 81× = 4 解含幂的方程 答案：x=- 练一练 答案：x=- 解下列方程： +3×-1=0 (1)求-的值； (2)求-的值. 5 解条件求值问题 答案： (1)2; (2) 1 (利用根与系数的关系，整体代入) 例4.已知方程x2-8x+4=0的两根为x1,x2(x1<x2). 1. 已知+=3，求+的值. 答案：+=7 练一练 练一练 答案：-=2 2. 已知+=2，且x>1, 求-的值. 知识篇 素养篇 思维篇 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 1.设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c, 求证：=+ . 转化与化归 解：令3a=4b=6c=t,则3=, 4=, 6=; 由于3×2=6，所以×= 即+= , 所以 方法总结：利用等式的性质，对幂的形式进行互化. 2.设实数a,b满足方程3a2+6a+1=0和b2+6b+3=0, 且 ab≠1,则a-3ab-1+b-1的值为 . 转化与化归 解：方程3a2+6a+1=0两边同除以a2,得 ()2+6()+3=0; 又b2+6b+3=0, 所以与b是一元二次方程的两根. 从而有×b=3， b-1= 所以a-3ab-1+b-1 = a+-1 = -1=-1=-3 方法总结：先将方程化归为同构方程，再利用根与系 数的关系对原目标式进行化简. 3.设x∈R，[x]表示x不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是 . 归谬思想 由[t]=1得 1≤t<2, 由[t2]=2得 2≤t2<3, 由[t4]=4得 4≤t4<5, 所以2≤t2< 由[t3]=3得 3≤t3<4, 从而6≤t5<4 又由[t5]=5得 5≤t5<6, 与6≤t5<4矛盾！ 故正整数n的最大值是4. 方法总结：将整数指数幂与取整函数的运算综合考虑. 用到了归谬的思想. 课堂小结 一、本节课学习的新知识 无理数指数幂 无理数指数幂的运算 二、本节课提升的核心素养 数学抽象 直观想象 课堂小结 逻辑推理 数学运算 三、本节课训练的数学思想方法 转化与化归 课堂小结 归谬思想 01 基础作业： . 02 能力作业： . 03 拓展延伸：（选做） 作业 给授课教师的建议： 1. 素养篇与思维篇中的问题，建议以学生分析为主，由 学生思考、探究、讨论，得出解决方案，教师适时点 拨即可; 2. 原PPT上的“分析”文本框内容