21.2 解一元二次方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

21.2解一元二次方程（重难点） 【知识点一、直接开方法】 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若则 解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程.直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方，转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 【知识点二、配方法】 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 3. 配方五步法 ①、移项:使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数. ②、化1:方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. ③、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成的形式. ④、开方:若n≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程，若n<0，则原方程无解. ⑤、求解：解所得到的一元一次方程，得出原方程的解. 【知识点三、一元二次方程根的判别式】 对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方： ∵当时，该方程才有实数根，且， ∴方程才有实数根 1、一元二次方程根的判别式是． 2、表示:通常用希腊字母“△”表示，即； 3、一元二次方程实数根的情况 △的符号 根的情况 方程有2个不相等的实数根 方程有2个相等的实数根 方程没有实数根 【知识点四、求根公式及公式法】 对于一元二次方程进行配方可得到一元二次方程的求根公式： 推导过程： 【知识点五、因式分解法】 1、适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点 （1）方程一边为0； （2）另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式． 2、利用因式分解解一元二次方程的常用方法 （1）提公因式法:把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． （2）逆用平方差公式和完全平方公式来分解因式． 3、因式分解法解一元二次方程的一般步骤 步骤 示例： 解释 1、移 移项，将方程右边化为0 2、分 将方程左边因式分解 3、化 令每个因式都为零 4、解 解这两个一元一次方程 【知识点六、 灵活选用合适的方法解一元二次方程】 方法 特点 举例 直接开方法 解一元二次方程最简单的方法．若方程可化为的形式，则宜选用直接开平方法求解 配方法 解一元二次方程最基本的方法，它适用于解所有的一元二次方程．配方法要先配方，再降次．通过配方法可以推出求根公式 公式法 解一元二次方程最通用的方法，它适用于解所有的一元二次方程．公式法是直接利用求根公式解方程 因式分解法 解一元二次方程较简单的方法．当方程的一边为0，另一边易化为两个一次因式的积时，就可优先选用因式分解法求解 【知识点七、 一元二次方程的根与系数的关系】 方程的根与系数的关系 数学语言 设的两个根为，则 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件 （1）方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0；（2）方程有实数根，即△≥0 重要推论 设一元二次方程的两根为，则 常见变形 （1） （2） （3） （4） （5） 题型一 配方法 例1．将一元二次方程配方后可化为(   ) A． B． C． D． 【变式训练1-1】．将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 【变式训练1-2】．下列配方有错误的是（　　） A．，化为 B．，化为 C．，化为 D．，化为 【变式训练1-3】．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二 判定一元二次方程根的情况 例2．关于x的方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等实数根 C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【变式训练2-1】．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式训练2-2】．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 题型三 由根的情况求参数及范围 例3．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数可能为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式训练3-2】．关于x的方程有两个不相等的实数根，则