第04讲 3.2.2奇偶性（知识清单+8类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 3.2.2奇偶性 课程标准 学习目标 ①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. ②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. ③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调. 故选：C 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练2】（2023·全国·高三对口高考）设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数， 且，函数图像示意图如图所示：    故不等式，即，即， 结合的示意图可得它的解集为或 故选：D． 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】B 【详解】∵，∴以为对称中心，且； ∵即， ∴为偶函数，以轴为对称轴； ∴，即， 由知，， ∴，， 从而，即， ∴的周期为4，∴的周期为4； 故． 故选：B. 题型01函数奇偶性定义与判断 【典例1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【典例3】（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若函数满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明. 【变式1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022秋·北京·高一北京师大附中校考期中）已知函数，（）. (1)当时，解关于x的不等式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； 题型02由奇偶性求解析式 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数的值． 【典例3】（202