第05讲 直线的一般式方程( 8类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 直线的一般式方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握直线的一般式方程的形式 及条件.会求直线的一般式方程。 ②能准确的将直线的五种形式的方程进 行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。 ③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。 通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题. 知识点01：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程. 【答案】 【详解】把坐标代入直线和直线， 得,， ∴， 过点和点的直线的方程是：， ∴，则， ∵， ∴， ∴所求直线方程为． 知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 【即学即练2】（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【详解】∵且，则 ∴，， ∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 知识点03：直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 【即学即练3】（2023秋·高二课时练习）经过点，且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行于直线的直线方程可设为， 又所求直线过点， 则，解之得， 则所求直线为. 故选：A 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 【即学即练4】（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点且与直线垂直的直线方程是________．（用一般式表示） 【答案】 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 于是，解得， 所以所求的直线方程为. 故答案为： 题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线在轴的截距大于在轴的截距，则、、应满足条件（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【典例3】（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数，，满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与轴相交； (4)是轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 【变式1】（2023春·江苏南通·高一期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【变式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________ 题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______． 【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线：的斜率和在轴上的截距分别为（    ） A．，3 B．， C．，3 D．， 题型03根据直线平行求参数 【典例1】（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”