第23讲 抛物线及其标准方程5种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第23讲 抛物线及其标准方程5种常见考法归类 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 知识点2　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注：1、抛物线方程的推导： 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}． 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． 抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围． 3、四个标准方程的区分 焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 3、抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　 4、求抛物线实际应用的五个步骤 考点一：抛物线的标准方程 例1．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 变式1．（2023秋·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 ． 变式3．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 变式4．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程. 变式5．（2021秋·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 考点二：根据抛物线方程求焦点或准线 例2．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（　　） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，准线方程为- C．开口向右，焦点为 D．开口向上，准线方程为 变式1．（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线