1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 考点一、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 考点二、用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 重难点题型突破1 用空间向量研究距离问题 例1．（2021秋·高二单元测试）如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，， .     (1)求直线与平面的夹角； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出，点的坐标和平面的法向量，利用空间向量在立体几何中的应用，即可求得直线与平面的夹角. （2）根据空间直角坐标系写出，的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量求解点到平面的距离公式即可求出结果. 【详解】（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面， 以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，    由已知得，， 因为轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为， 又，设直线与平面的夹角为， 则有，即， 所以直线与平面的夹角为. （2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，， 可设平面的法向量为，则，得， 令，得，，即， 又因为， 所以点到平面的距离为. 【变式训练1-1】、（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.      (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到平面距离的范围. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以. 取的中点，连接、， 因为是棱的中点，所以，且， 因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接. 因为是正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以， 设，其中， 则， 设平面的法向量， 所以， 令，得， 设点到平面距离为，. 当时，； 当时，，则， 当且仅当时等号成立. 综上，点到平面距离的取值范围是. 【变式训练1-2】、（2022秋·北京·高二北师大实验中学校考期中）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，然后用空间向量计算垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可；（3）利用向量的投影计算即可. 【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 （2）因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量. 显然二面角为锐二