1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 1．（2023春·高二课时练习）已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为（   ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解. 【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量， 则到平面的距离， 故选：D. 2．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量法计算可得. 【详解】依题意，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 故选：C 3．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 故设平面的法向量为， 所以点到截面的距离为. 故选：B 4．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则， ∴，. 设为平面的法向量，， 由，得， 令z=1，∴， 所以. 又， ∴点C到平面AEC1F的距离d=. 故选：C. 5．（2023春·浙江·高二期中）如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱､中点，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，所以， 则点到平面的距离为. 故选：B. 6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，设二面角为，由求解. 【详解】解：如图所示：    过作，垂足为，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，．，， 设平面的法向量为， 则令，得． 取平面的一个法向量为， 设二面角为，则， 所以二面角的余弦值为． 故选：A 7．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 故选：B. 8．（2023春·江苏宿迁·高二统考期末）如图所示，正方体的棱长为，点分别是中点，则二面角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用夹角公式求出余弦值，进而可得答案. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，2，，，0，，，2，， 则，2，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，令，则，1，， 又因为平面的一个法向量， ， 设的大小为，有图可知为锐角， 则， 故选：A.    9．（2022秋·高二课时练习）已知长方体中，，为侧棱上的一点，且，则直线与平面所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再转化为余弦值. 【详解】以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图，， ∴，，. 设平面的一个法向量为，则， 即，取，则， ∴， 设直线与平面所成角大小为θ，则， 所以. 故选：B    10．（2022秋·高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D