1.3.2 空间向量运算的坐标表示（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 知识点、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 用坐标表示空间向量的步骤如下: 重难点题型突破1 空间向量模长的坐标表示 例1．（1）、（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）向量的模__________. （2）、（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知点，若点P满足，则（    ）． A．37 B． C．57 D． 【变式训练1-1】、（2022秋·新疆喀什·高二校考期末）若，则___________ 【变式训练1-2】、（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D．∥ 重难点题型突破2 空间向量平行的坐标表示 例2．（1）、（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知，，且，则x的值为（    ） A． B． C．6 D．－6 （2）、（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 【变式训练2-1】、（2022秋·广东深圳·高二统考期末）已知空间向量，则实数（    ） A．0 B． C． D．2 【变式训练2-2】、（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则实数___________. 重难点题型突破3 空间向量垂直的坐标表示 例3．（1）、（2023秋·高二课时练习），若，则（    ） A．0 B． C． D． （2）、（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【变式训练3-1】、（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为4 【变式训练3-2】、（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考阶段练习）（多选题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破4 空间向量夹角余弦的坐标表示 例4．（1）、（2022秋·高二单元测试）（多选题）已知，且与夹角为钝角，则的取值可以是（　　） A．-2 B．1 C． D．2 （2）、（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】、（2023秋·高二单元测试）已知，则的面积为__________． 【变式训练4-2】、（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知向量，，若与夹角为，则k的值为________． 重难点题型突破5 冲刺满分压轴题 例5．（1）、（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023春·福建福州·高二校联考期中）（多选题）已知向量则下列命题中，正确的是（    ） A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则，之间的夹角为钝角 D．若，则，之间的夹角为锐角 【变式训练5-1】、（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）（多选题）已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2； D．若与轴垂直，则，应满足 【变式训练5-2】、（2023秋·全国·高二期末）如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________. 【变式训练5-3】、（2021秋·安徽·高二校联考期中）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和