第四讲 充分条件与必要条件专题讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新东方·老师好 高一数学 目录 第四讲 充分条件与必要条件 2 【课前诊断】 2 【知识点一:充分条件，必要条件】 3 【典型例题】 4 考点一： 充分条件的判断 4 考点二： 必要条件的判断 5 【知识点二:充要条件问法逻辑】 6 【典型例题】 7 考点一： 充要条件的判断 7 拓展提升 9 【小试牛刀】 9 【巩固练习——基础篇】 11 【巩固练习——提高篇】 12 第四讲 充分条件与必要条件 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1．命题“”的否定是 （A） （B） （C） （D） 2.命题””的否定是 （A） （B） （C） （D） 3.若命题,则为 （A） （B） （C） （D） 4.已知命题则为 （A） （B） （C） （D） 【知识点一:充分条件，必要条件】 一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出结论.这时，我们就说，由可以推出，记作 并且说，是的充分条件（sufficient condition）,是的必要条件（necessary condition） 如果“若，则”为假命题，条件不能得出结论，记做.此时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件. 上述命题（1）（4）中是的充分条件，是的必要条件，而命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件. 【典型例题】 考点一： 充分条件的判断 例1.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题的是的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则为无理数. 练1.判断下列“若，则”形式的命题中，哪些命题的是的充分条件？ （1）两个三角形相似，两个三角形三边成比例； （2），; （3）是一元二次方程的一个根，. （4）若两个三角形的两边以及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； 练2.举例说明：是的充分条件. 练3.已知集合，，则是否为的充分条件？请说明理由. 考点二： 必要条件的判断 例1.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则 ； （5）若，则； （6）若为无理数，则为无理数. 练1.下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ （1）若直线与有且仅有一个交点，则为的一条切线； （2）若为无理数，则也是无理数. 【练习2】结合初中知识，举一个是的必要条件的例子. 【练习3】已知集合，且，则是否为的必要条件？说明理由. 【知识点二:充要条件问法逻辑】 在我们熟练命题的“若，则”形式后，将命题中的条件和结论互换，就会得到一个新的题 “若，则”，这个新命题为原命题的逆命题. 思考：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ； （4）若是空集，则与均是空集. 不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题. 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有又有就记做 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition），显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 充分条件、必要条件、充要条件三者关系： 充分条件是判定定理；必要条件是性质定理充要条件是数学定义. 【典型例题】 考点一： 充要条件的判断 【例题1】下列各题中，哪些是的充要条件？ （1）四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； （2）两个三角形相似，两个三角形三笔成比例； （3）； （4）是一元二次方程的一个根，. 【练习1】下列各题中，哪些是的充要条件？ （1）三角形为等腰三角形，三角形存在两角相等； （2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等； （3）为空集，与之一为空集. 【例题2】判断命题的真假： （1）点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 （2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件. （3）是的必要不充分条件. （4）或为有理数是为有理数