专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求空间点的坐标】 1 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 2 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 3 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 3 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 4 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 6 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 7 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 8 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点，点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（    ） ①点关于轴的对称点是 ②点关于平面的对称点是 ③点关于轴的对称点是 ④点关于原点的对称点是 A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量，那么（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量,则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（     ） A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1） 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（    ） A．-11 B．3 C．4 D．15 【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（2022秋·广东江门·高二校