2.3 一元二次不等式-2023-2024学年高一数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019必修第一册）

2.3 一元二次不等式 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 重点：一元二次不等式与相应函数、方程的联系 难点：含参一元二次不等式的解法 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一　一元二次不等式 1．把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 对一元二次不等式的再理解 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.　　　　 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 知识点二　一元二次不等式的解法 1．图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； (3)由图象得出不等式的解集． 2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 1．在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． 2．当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转化为－a再进行求解．　　　　 思考1．ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？ 思考2．ax2＋bx＋c<0(a<0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？ 解下列一元二次不等式： (1) x2－2x＋3>0； (2)－x2－3x＋4>0； (3)(x－a)(x－a＋1)<0. 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2) 1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． 2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．　　　　 思考3 当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 1．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________． 2．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b＝________． 考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参一元二次不等式的解法 例1．（天津市红桥区2022-2023学年高中学业水平合格性考试模拟数学试题）一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2023春·福建南平·高二统考期末）已知集合，集合，则（      ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2023春·湖南·高二校联考期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【对点演练3】（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）已知全集，设集合，则（    ） A． B． C． D． 角度2 含参数一元二次不等式的解法 例2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式 【对点演练1】（2023·江苏·高一假期作业）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【对点演练2】（2023·