1.2 空间向量基本定理-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 LET’S START ·复习回顾· 平面向量基本定理： 　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 问题探究 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示. 类似地，任意一个空间向量能否用任意几个向量a，b，c来表示呢？ 思考 平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示. 那么任意一个空间向量还可以用两个向量来表示吗？ a b c 思考 那么任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ 三个向量共面 三个向量不共面 a b c ？ 问题探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. p i j k P Q O α 问题探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. xi p i j k P Q O yj zk α 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． 问题探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． xi p i j k P Q yj zk α O 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ a b c p 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ a b c O P α p a c b B C A Q 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ Q α a b c O P p a c b B C A 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ O Q P p a c b B C A α a b c 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 问题探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ xa O Q P p a c b yb zc B C A α a b c 请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理。 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 平面向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 一、空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc． 那么，所有空间向量组成的集合就是 { p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}． 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量． 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？ 一、空间向量基本定理 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． a i j k P Q O 给我一个支点，我可以撬起地球． ——阿基米德 给我一个基底， 我还你一个空间！ 练习巩固 例1 下列说法正确的是（ ） A.若向量共线，则向量所在的直线平行 B. 若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组{x，y，z}，使. C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线. D. 若三个向量两两共面，则三个向量一定共面. C 练习巩固 练习1 若{}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. , , B. , , C. , , D. , , B 练习巩固 例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，，M,N分别是BC1，B1C1的中点，试用基底{}表示向量，. A B C A1 B1 C1