1.2 有理数（知识+题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

1.2 有理数（重难点） 【知识点一、有理数的概念】 1. 正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） 2. 正分数和负分数统称为分数 3. 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数． 理解：只有能化成分数的数才是有理数．①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数．②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数．3，整数也能化成分数，也是有理数 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像－2，－4，－6，－8…也是偶数，－1，－3，－5…也是奇数． 【知识点二、有理数的分类】 1. 按有理数的意义分类 2. 按正、负来分 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数； 【知识点三、数轴】 1. 数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴． 注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的． 2. 数轴上的点与有理数的关系 ①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示． ②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系．（如，数轴上的点π不是有理数） 3. 利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小． 4. 数轴上特殊的最大（小）数 ①最小的自然数是0，无最大的自然数； ②最小的正整数是1，无最大的正整数； ③最大的负整数是－1，无最小的负整数 5. a可以表示什么数 ①a＞0表示a是正数；反之，a是正数，则a＞0； ②a＜0表示a是负数；反之，a是负数，则a＜0 ③a＝0表示a是0；反之，a是0，，则a＝0 【知识点四、相反数】 1. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0. 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0. 2. 相反数的性质与判定 ①任何数都有相反数，且只有一个； ②0的相反数是0； ③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a＋b＝0 3. 相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等．0的相反数对应原点；原点表示0的相反数． 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称． 4. 相反数的求法 ①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“－”即可求得（如：5的相反数是－5）； ②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“－”，然后化简（如；5a＋b的相反数是－（5a＋b）．化简得－5a－b）； ③求前面带“－”的单个数，也应先用括号括起来再添“－”，然后化简（如：－5的相反数是－（－5），化简得5） 5. 相反数的表示方法 ①一般地，数a 的相反数是－a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0. 当a＞0时，－a＜0（正数的相反数是负数） 当a＜0时，－a＞0（负数的相反数是正数） 当a＝0时，－a＝0，（0的相反数是0） 【知识点五、绝对值】 1..绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 2. 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 可用字母表示为： 如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝－a；③如果a＝0，那么|a|＝0. 可归纳为①：a≥0，＜═＞ |a|＝a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数．） ②a≤0，＜═＞ |a|＝－a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数．） 【知识点六、有理数大小的比较】 1.利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； 2.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数． 考点1：有理数的定义 例1．下列各数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．在，，，0，中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1-2】．在中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个