1.4 空间向量的应用（第二课时课件）-2023-2024学年高二数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2(1)用空间向量研究距离问题 高中数学/人教A版/选修一 P Q a c b p 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.2(1)用空间向量研究距离问题 空间元素之间的远近，就是它们之间的距离问题.具体分为 点与点的距离、点与直线的距离、点与平面的距离； 平行线间的距离、异面直线间的距离、直线与平面间的距离； 平行平面之间的距离 B A a b 空间点到直线的距离 1 如图，Pl, A∈l, u∥l,则P到l的距离 d == P u Q A l 练一练 x y z 如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 的边长为2. E、F分别为棱BC、D’C’的中点，求点A’到直线FE的距离. d = 如图，Pα, A∈α, n⊥α ,n∥l,则P到α 的距离 P n Q A l d = 空间点到平面的距离 2 练一练 x y z 如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 的边长为2. E、F分别为棱BC、D’C’的中点，求点A’到平面DFE的距离. d = 空间直线到直线的距离 3 在空间中，两直线相交，定义它们之间的距离为零； 两直线平行，它们之间的距离可以转化为点到直线的距离； 如图，l1与l2是两条异面直线；A∈l1, B∈l2, n⊥l1,n⊥l2； 则l1与l2之间的距离(公垂线段的长) d = A n C B l1 图1 l2 d 练一练 x y z 如图，长方体ABCD-A’B’C’D’ 中，AB=3， AD = AA’ = 2. 求直线DB’与AD’之间的距离. d = 空间直线到平面、平面到平面的距离 4 图1，P∈l, l∥α, A∈α, n⊥α .直线l到平面α的距离转化为点P到α 的距离 图2，P∈β,β∥α,A∈α, n⊥α .平面β到平面α的距离转化为点P到α 的距离 P n Q A l P n Q A 图1 图2 在空间中，直线与平面相交，或两平面相交，定义它们之间的距离为零. 练一练 x y z 如图，长方体ABCD-A’B’C’D’ 中AB=3, AD =AA’ =2. 求平面AB’D’与平面BDC’之间的距离. d = 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.2(1)用空间向量研究距离问题 1.如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=8,AD=AA’=6,N为棱A’D’中点，M是侧面BCC’B’内部(含边界)一点;若点M与点N之间的距离为10，求点M轨迹的长度. 问 题 分 析 方 法 核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理 y z x 第一步，如图建系； 第二步，定坐标：D(0,0,0),N(3,0,6), 设M(x,8,z), =(x-3,8,z-6); 第三步，条件代数化：2=(x-3)2+64+(z-6)2=102 即(x-3)2+(z-6)2=36 , y=8； 第四步，定轨迹：结合方程，考虑到M在侧面内， 故其轨迹为圆弧，所对圆心角为60°; 第五步，求长度：M轨迹长度为2π 用向量坐标解决几何问题的过程，是一个先向量坐标化，再条件代数化，进而通过逻辑推理和运算，得出结论，最后又回到几何中去的过程. 2.如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中,AB=3, AD=AA’=2，E、F分别为棱AA’、DD’的中点. 底面ABCD内一动点M到直线D’C’的距离等于它到直线EF距离的三倍；则点M的轨迹类型是( ) (A)直线 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D)抛物线 问 题 分 析 方 法 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 x y z 通过方程形式判断动点轨迹类型，是坐标法一大优点. 在空间直角坐标系背景下，点的运动由坐标的关系反映出来；由此看出，几何问题坐标化是解决几何问题一大利器. 第一步，如图建系；图中MN⊥D’C’,MK⊥EF; 第二步，定坐标：设M(x,y,0); 第三步，条件代数化：2=92 x2+4=9(y2+1) 即x2-9y2=5 第四步，定轨迹：由方程知M轨迹属双曲线型. 问 题 分 析 方 法总结 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 引入参变量表示动点的坐标，则距离就是参变量的函数，只需求出函数的最大值即可. 3.如图,长方体ABCD-A’B’C’D’中,AB=3, AD=AA’=2，E为 棱BC中点，M是对角线B’D’上一动点.求点E到平面AMC