1.2 空间向量基本定理（课件）-2023-2024学年高二数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量基本定理 高中数学/人教A版/选修一 P Q a c b p 知识篇 素养篇 思维篇 1.2空间向量基本定理 平面向量基本定理 如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb . 回顾： a b p 类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？ 空间向量基本定理 1 降 维 分 解 P Q a c b p 如图，将空间不共面的三个向量a,b,c以及空间任意向量p平移至共起点O； 过点P作c的平行线，交a,b所在平面于点Q，则有+=p ; 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(x,y),使得： =xa+yb; ∥c，所以存在唯一实数z，使得：=zc; 从而：=xa+yb+zc . 空间向量基本定理 1 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数对(x,y,z)，使得：p=xa+yb+zc . 定理 其中，{a,b,c}叫做空间的一个基底，而a,b,c都叫做基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示. 把空间任意一个向量a分解成xi, yj, zk，叫做把空间向量进行正交分解. 基底 正交分解 练一练 1.如图，E是四面体D-ABC的棱AB的中点，F是EC的中点. 用向量，，表示向量. =++ 练一练 2.已知{a,b,c}是空间一个基底，则以下向量中能与a，a-b 构成基底的是( ) A、b B、b+c C、b+a D、2b+a B 知识篇 素养篇 思维篇 1.2空间向量基本定理 问 题 解 答 方 法总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 将两个向量垂直这一条件转化为它们的数量积为0，用基底表示目标向量，将几何问题转化成代数问题. 1.如图，平行六面体ABCD-A’B’C’D’的底面ABCD是菱形，∠C’CB=∠C’CD,求证：B’D’⊥CA’ . =a ,=b ,=c, 则=a+b+c, =a-b •=a2-b2+c(a-b) ∴B’D’⊥CA’ 由已知，a2=b2，ca=cb ∴ a2-b2+c(a-b)=0 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E、F分别为DD',BD的中点，点G在CD上，且DG=3GC.求EF与C'G所成角的余弦值. 问 题 方 法 核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析 几何体中的夹角问题，往往先转化为向量夹角问题，再选择一组基底将目标向量表示出来，借助向量夹角公式求解，最后又回到几何问题中去. cos<, > = = = =a ,=b ,=c, 则=-a+b+c; =a+c; 解 答 所以EF、C'G所成角的余弦值为 3.如图，在正三棱台ABC-A'B'C'中，AB=2AA'=2A'B'=4, E、F分别为CC',A'B'的中点，求线段EF的长. 问 题 分 析 方 法总结 核心素养 之 数学建模 + 逻辑推理 求空间线段长问题可以转化为求向量的模; 借助基底表示目标向量后，通过基向量的运算解决几何问题. =a , =b , =c, 则= a+c; =+=+ = = =-= a+ 2=( a+)2=6 = =60°. EF 的长为. 知识篇 素养篇 思维篇 1.2空间向量基本定理 问 题 几何元素的测度，具体是指曲线(段)的长度、或封闭平面图形的面积、或几何体的体积.已知P是单位立方体ABCD-A1B1C1D1内部(含表面)的动点，满足条件： 请根据以下条件，分别求点P轨迹的测度： (x,y,z∈R) A B C D D1 C1 B1 A1 (2)x+y+z =1; (1)x=0.5; (3)x =0.5; 且y+z =0.5 (4)0.5≤x，y，z ≤1 (1)P点轨迹是正方形，面积为1；(2)P点轨迹是正△A1BD，面积为 ； (3)P点轨迹是线段，长度为 ； (4)P点轨迹是立方体，体积为 . 分 析 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型； 2.再依据类型求轨迹