1.1 空间向量及其运算（第二课时课件）-2023-2024学年高二数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量的数量积 高中数学/人教A版/选修一 知识篇 素养篇 思维篇 1.1.2空间向量的数量积 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的夹角和数量积，都可以像平面向量来定义. 空间向量的夹角 1 定 义 已知两个非零向量a、b,在空间任取一点O，作 =a, =b, 则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作<a, b>. 空间向量夹角的范围：[0, ]. π 如果<a, b>= ，那么向量a、b互相垂直，记作a⟂b. 说 明 练一练 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.则 （1） 与 的夹角大小为 ; （2） 与 的夹角大小为 ; （3） 与 的夹角大小为 . 90° 135° 60° 空间任意两个非零向量a和b，则 |a||b|cos叫做a与 b 的数量积，记作a•b，即 a•b=|a||b|cos 空间向量的数量积 2 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. a⊥b a•b=0 a•a=|a||a|cos0=|a|2 练一练 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则 (1) = ； (2) = . • • 0 1 空间向量的投影向量 3 a b c 将空间向量a平移到与向量b共起点后，可作出a在b上的投影，进而得到投影向量c(如图1）. 显然 c=|a|cos< a , b > ; 同理可以作出a在直线l上的投影向量(如图2） a l c a c A B B' A' 分别过空间向量a的起点A和终点B向平面α作垂线，垂足分别为A'、B', 得到a在平面α上的投影向量c(如图3）. 图1 图2 图3 练一练 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则 (1) 在直线AB上的投影向量为 ； (2) 在平面BCC’B’上的投影向量为 . (3) 在 上投影向量的长度为 . 空间向量数量积的运算律 4 空间向量的数量积满足如下的运算律： (λa)•b=λ(a•b), λ∈R； a•b=b•a(交换律)； a•(b+c)=a•b+a•c(分配律) . 对于空间向量a，b，c，判断下列命题是否正确： （1）若a≠0，则对于任意非零向量b，有a•b≠0; （2）若a≠0，且a•b=a•c，则b=c; （3）对于任意空间向量a，b，c，都有(a•b)•c=a•(b•c). 练一练 (1) 错误！当a⊥b时也有a•b=0成立； (2) 错误！只要a⊥(b-c)，就有a•b=a•c成立； (3) 错误！(a•b)•c=λc ，a•(b•c)=μa (λ, μ∈R) 知识篇 素养篇 思维篇 1.1.2空间向量的数量积 问 题 分 析 方 法总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 因为p⊥q，所以p•q=0，即 (3a-b)(λa+17b) = 3λa2-17b2 +(51-λ)ab = 12λ-425-5(51-λ) =17λ-680 = 0 得λ=40 将两个向量垂直这一条件转化为它们的数量积为0，也就把求值问题转化为解方程问题. 1. 2.正三棱台ABC-A'B'C'中，AB=4, A'B'= AA'= BB'=2, 求 . 问 题 方 法 核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析 几何体中向量的有关运算，往往先选择一组基底将目标向量表示出来，再根据基向量的条件和运算法则求解. 分 析 第一步，用不共面的一组向量 表示 ： ， ； 第二步，由已知条件知： 两两夹角均为60°.从而可得 = =-2 3.