1.4 空间向量的应用（第一课时课件）-2023-2024学年高二数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 高中数学/人教A版/选修一 P Q a c b p 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 空间中点、直线、平面的表示 1 如何用向量表示空间中的一个点？ P p 如图，称p为点P在空间中的位置向量. 1)空间中点的表示 空间中点、直线、平面的表示 1 如何用向量表示空间直线l？ P p 如图，是直线l 的方向向量. P在直线l 上的充要条件是存在唯一实数t，使得 l B A O l =+ t 2)空间中直线的表示 空间中点、直线、平面的表示 1 如何用向量表示空间平面？ 如图，、是平面α内两个不共线的向量. P在平面α内的充要条件是存在实数x、 y，使得 P a b p C B A =+x +y 3)空间中平面的表示 空间中点、直线、平面的表示 1 4)空间平面的法向量 P a A O l a •=0 练一练 x y z 如图为正方体ABCD-A’B’C’D’ . (1)平面ADD’A’的一个法向量是 ； (2)平面BCD’A’的一个法向量是 ； (3)平面AD’C的一个法向量是 . 空间中直线、平面的平行 2 u u1 n u2 l1 l2 l l1∥l2 ⟺ u1∥u2 ⟺ ∃λ∈R,使得 u1=λu2 l1∥α ⟺ u⊥n⟺ u•n=0 空间中直线、平面的平行 2 n1 α∥β ⟺ n1⊥n2⟺ ∃λ∈R,使得 n1=λn2 n2 β 练一练 如图，a⊂β, b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α. 求证：α∥β n β P a b v u 空间中直线、平面的垂直 3 u l n n1 n2 α β l⊥α⟺ u∥n ⟺ ∃λ∈R,使得 u=λn α∥β ⟺ n1⊥n2⟺ n1•n2=0 练一练 如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’ 中，E、F分别为对角线AD’、A’C’上的点，AE=2ED、C’F=2FA’. 求证：(1)EF∥DB’; (2)平面ACD’⊥平面DBB’D’. x y z E F 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、F、E、M分别为 AA1 、C1D1 、CD 、AB的中点，R、N分别为AD 、EF的 四等分点(靠近A、E ). （1）求证： PF ⊥ RM ； （2）求证：PF∥面DMN 问 题 解 答 方 法 核心素养 之 数学运算 + 逻辑推理 y z x 如图建系；不妨设AB=4，则D(0,0,0),P(4,0,2), R(3,0,0),M(4,2,0),E(0,2,0),N(0,2,1), F(0,2,4). (1) =(-4,2,2), =(1,2,0). ∵ =0 ∴ PF ⊥ RM (2) =(4,2,0),=(0,2,1).设面DMN一个 法向量为n=(x,y,z)， 由n=0 及n 得：4x+2y=0,2y+z=0; 取x=1,得n=(1,-2,4). ∵ n=0 , ∴ PF ∥面DMN 线线垂直转化为向量数量积为零；线面平行转化为向量与平面法向量垂直. 思考：边长为何设为4？ 2.如图，几何体FEABCD中,ABCD为直角梯形,∠ADC=90°, FD⊥ABCD,DC =FD =3EA =3,AB =AD =2, FD∥EA,AB∥DC, DF上点Q满足:面EBQ⊥面FBQ,求DQ的长. 问 题 解 答 方 法 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 如图建系；则D(0,0,0),F(0,0,3), B(2,2,0),E(2,0,1);设Q(0,0,h).则=(2,2,0), =(0,0,3), =(-2,-2,h), =(0,-2,1). 易知面FBQ有一法向量n1=(-1,1,0)； 设面BEQ一个法向量为n2=(x,y,z)， 由n2=0 及n2 得：-2y+z=0, -2x-2y+hz=0; 取y=1,得n2=(h-1,1,2). 由n1n2=0 得h=2.即DQ=2 x y z 面面垂直转化为两个平面的法向量垂直. 本题中平面BFQ(D)的法向量可以观察得出. 问 题 解 答 方 法总结 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 将线面垂直转化为线垂直于面内两条交线.建系时位置的选择很重要，尽量利用图形对称，尽量让相关点落在坐标轴上，等等.