1.4 空间向量的应用（第三课时课件）-2023-2024学年高二数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2(2) 用空间向量研究夹角问题 高中数学/人教A版/选修一 P Q a c b p 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.2(2) 用空间向量研究夹角问题 刻画空间点线面之间的位置关系，有两个重要的度量，一是距离，二是角度. 上一个课时我们以向量为工具研究了距离，这一节课，我们以向量为工具来研究角度. 空间角主要有直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角. 空间直线与直线所成的角 1 a l2 l1 b 如图，a,b分别为直线l1，l2的方向向量，记l1与l2所成的角为θ，则 cosθ = 思考： θ就是a,b所成的角吗？为什么？ 练一练 x y z 如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2，E、F分别为棱BC、D’C’的中点. 求直线DF与直线A’E所成角的余弦值. 空间直线与平面所成的角 2 如图，a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量；记l与α所成的角为θ，则 n a A B C l sinθ= 练一练 x y z 如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2. 点E是棱BC中点， 求直线DE与平面A’DC’所成角的正弦值. n2 n1 空间平面与平面的夹角 3 如图，平面α与平面β相交所形成的交角中，不大于直角的角称为α与β的夹角. 记α与β所成的角为θ， 若n1，n2分别为α与β的法向量； 则 cosθ = 练一练 x y z 如图，正方体ABCD-A’B’C’D’ 边长为2. 点E是棱BC中点， 求平面A’DE与平面C’DE的夹角的余弦值. 知识篇 素养篇 思维篇 1.4.2(2) 用空间向量研究夹角问题 1.如图，正四面体A-BCD中，E、F分别为BC 、AD 的中点，求直线AE、CF夹角的余弦值. 问 题 分 析 方 法 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 求直线所成角的余弦值，可以转化为求方向向量夹角的余弦问题.选基底表示目标向量，建立数学模型. 第一步，选{，，}为基底表示目标向量： =, =- 第二步，向量计算：记A-BCD边长为a,已知基向量 两两夹角为60°，则 • =- 第三步，计算夹角余弦：cosθ== 第四步，回到几何问题：所以直线AE、CF夹角的 余弦值为 . 2. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA、CB、CC1两两互相垂直，CB=2CA=2CC1= 4 ，E是CB的中点，M是线段EC1上的动点. 当直线AB1与平面ACM所成角的正弦值为时，求线段B1M的长度. 问 题 解 答 方 法 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 将线面角信息转化为向量夹角信息，借助于向量运算推导出几何信息.过程中要注意参数t的范围. x y z 第一步，如图建系； 第二步，定坐标：C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,4,2), 设M(0,t,2-t),, =(0,t,2-t),=(-2,4,2); 第三步，求法向量：n=(0, 1-, 1)； 第四步，求线面角正弦：由sinθ= =解得t= 第五步，求线段长：由M(0,,)知B1M长为 问 题 分 析 核心素养 之 数学建模 + 数据分析 连结AC， 由已知得：AC=AB=BC 由于面EBC⊥面ABCD，BC=CE=EB 故适合以BC中点为坐标原点，建立空间直角坐标系 3.如图,四棱锥E-ABCD中, 面EBC⊥面ABCD，底面ABCD为直角梯形， DC∥AB, ∠ADC为直角，AB=BC=CE=EB=2DC=2, AD=, F为棱ED 上的动点. 当二面角F-BC-E大小为45°时，试确定点F的位置. 问 题 核心素养 之 数学建模 + 数学运算 3.如图,四棱锥E-ABCD中, 面EBC⊥面ABCD，底面ABCD为直角梯形， DC∥AB, ∠ADC为直角，AB=BC=CE=EB=2DC=2, AD=, F为棱ED 上的动点. 当二面角F-BC-E大小为45°时，试确定点F的位置. 分 析 x y z O 第一步，如图建系； 第二步，定坐标：C(0,-1,0),B(0,1,0),A(,0,0), =2,得 =(,-,0),