第21章 一元二次方程 专项练习 2022-2023学年人教版数学九年级上册

专项练习：一元二次方程 知识点归纳： 一元二次方程 1、定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、一元二次方程的解法 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 3、一元二次方程与实际问题 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 分类练习： 一、单选题(共8题；共40分) 1．下列说法正确的是（　　） A．五边形的外角和是540° B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．因式分解是正确的 D．关于x的方程有两个不相等的实数根 2．关于x的一元二次方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，下列选项正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 5．一个容器盛满纯果汁5升，第一次倒出一部分果汁后加满水，第二次又倒出同样体积稀释过的果汁，再加满水，此时容器中的纯果汁剩下4升．设每次倒出x升，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程的一个解与方程的解相同，则方程的另一个解是（　　） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．－5 D．－2 8．一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 二、填空题(共5题；共15分) 9．已知直角三角形两条直角边的长分别是方程x2-7x+12=0的两根，则该三角形的斜边长为　 　. 10．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 　． 11．将一元二次方程配方写成的形式为　 　． 12．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为　 　． 13．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是　 　． 三、综合题(共6题；共45分) 14．已知关于x的一元二次方程． （1）当m＝1时，试求出该方程的解； （2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根． 15．解方程： （1）； （2）x2－4x＋3＝0． 16．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 17．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值． 18．已知关于k的一元二次方程. （1）若是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根； （2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （3）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值. 19．已知关于x的方程． （1）求证：当时，方程总有两个不相等实