1.1.2 空间向量的数量积运算（四大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

1.1.2空间向量的数量积运算 1．掌握空间向量的夹角的概念. 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律. 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 一、空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：_____，特别地，如果，那么向量互相_____，记作 二、空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为_____，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们_____到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量数量积的计算 1．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 3．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ） A． B．. C． D． 4．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（    ） A． B． C．1 D． 6．如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 考点02 用数量积求向量的夹角 9．四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．空间四边形中，，，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 11．平行六面体，，，若，则______. 12．已知，则_________，_________，_________，_________，_________． 13．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 14．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（        ） ①； ②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角； ③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角； ④若且，则∠BDC是锐角 A．② B．①③ C．②④ D．②③④ 考点03 利用数量积证明空间垂直关系 15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 16．如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)若，，求证：； (2)设，O为空间中任意一点，求证：． 17．已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 18．如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且. (1)用，，表示； (2)若，求； (3)若，求证：平面. 19．已知平行六面体的各棱长均为1，且． (1)求证：； (2)求对角线的长． 20．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的大小； (3)判断与是否垂直． 考点04 用数量积求线段长度 21．平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在四面体中，，，.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 23．已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则__________. 24．已知空间向量两两夹角为，其模都为1，则______. 25．已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 26．平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（    ） A． B．2 C． D．10 27．如图，二面角为，点，在棱l上的射影分别是，，若，则AB长度为（    ）    A．2 B． C． D． 基础过关练 1．已知正方体的棱长等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）    A． B． C． D． 3．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若为非零向量，，则与一