1.3正方形的性质与判定 同步练习　2022—2023学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 一、选择题 正方形具有而菱形不具有的性质是 A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 四边形 中，，下列条件能使这个四边形是正方形的是 A． B． C． D． 如图，将边长为 的正方形 沿对角线 平移，使点 移至线段 的中点 处，得新正方形 ，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是 A． B． C． D． 如图，已知正方形 的边长为 ，点 在对角线 上，且 ，，垂足为 ，则 的长为 A． B． C． D． 如图，正方形纸片 的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，将 ， 分别沿 ， 折叠，点 ， 恰好都落在点 处，已知 ，则 的长为 A． B． C． D． 如图，在边长为 的正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，，，则 的长是 A． B． C． D． 如图，点 ， 是边长为 的正方形 边 ， 上的动点，且 ， 交 于点 ，在点 ， 运动的过程中， 的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题 如图，已知正方形纸片 ，， 分别是 ， 的中点，把 边向上翻折，使点 恰好落在 上的 点处， 为折痕，则 度． 已知正方形 的对角线 ，则正方形 的面积为 ． 如图，正方形 的两边 ， 分别在 轴、 轴上，点 在边 上，以 为中心，把 旋转 ，则旋转后点 的对应点 的坐标是 ． 如图，已知 是正方形 对角线 上一点，且 ，则 度数是 度． 如图，在边长为 的正方形 中，点 为 上一点， 是 的中点，且 ．在 上找点 ，使 ，则 的长是 ． 如图，正方形 的边长为 ，点 ， 分别在 ， 上，若 ，且 ，则 的长为 ． 如图，正方形 中，，点 ， 分别在边 ， 上，，点 是对角线 上的一个动点，则 的最小值是 ． 三、解答题 正方形 的边长为 ，点 ， 分别在 ， 上，将 ， 分别沿 ， 折叠，点 ， 恰好都落在 处，且 ． (1) 求 的长； (2) 求 的面积． 如图，已知平行四边形 ，对角线 ， 相交于点 ，且 ，延长 至点 ，使 ，连接 ． (1) 当 时，求证：； (2) 当 时，求证：四边形 是正方形． 在正方形 中，点 是直线 上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ． (1) 如图 ，若点 在线段 的延长线上．过点 作 于 ，与对角线 交于点 ． ①请根据题意补全图形； ②求证：． (2) 若点 在射线 上，直接写出 ，， 三条线段的数量关系为 ． 如图，正方形 中，，在边 的右侧作等腰三角形 ，使 ，记 为 （），连接 ，过点 作 ，垂足为 ，交 的延长线于点 ，连接 ． (1) 求 的大小（用 的代数式表示）． (2) 求证： 为等腰直角三角形． (3) 当 时，求点 到 的距离． 如图，正方形 边长为 ，点 在对角线 上运动（不与点 ， 重合），连接 ，作 ，交直线 于点 ． (1) 判断线段 ， 的数量关系，并说明理由． (2) 当 时，求 的长． (3) 设线段 ，，， 围成的图形面积为 ， 的面积为 ，求 的最值． 如图，已知正方形 ， 交 于点 ，在线段 上任取一点 （不含端点），连接 ，延长 交 延长线于点 ，交 于点 ． (1) 当 时； ①求 的度数； ② 和 的面积分别为 和 ，求 的值； (2) 探索线段 ，，，用等式表示三者的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $