3.2.2函数的奇偶性 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的奇偶性 生活中的对称 思考1、观察函数y=x2与函数g(x)=2-|x|的图象，你能发现它们的共同特点吗？ 新课引入 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 (x.f(x)) -x x (-x,f(-x)) x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 函数f(x)的图象关于y轴对称. 思考2、观察下列两个函数的图象，你能发现它们的共同特点吗？ 图象关于原点对称 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I.都-x∈I，且f(-x)=f(x).那么函数f(x)就叫做偶函数. 偶函数 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 (x.f(x)) -x x (-x,f(-x)) 例如f(x)=x2： 注意： 1、定义域关于原点对称 2、图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x) 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I.都-x∈I，且f(-x)=-f(x).那么函数f(x)就叫做奇函数. 例如 ： 注意： 1、定义域关于原点对称 2、图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x) 用奇偶性作为分类标准, 可以将函数分为： 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数 则有f(0)=0 又是奇函数 例题讲解 例1、 1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称； 2、若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则一定有f(0)=0 3、奇、偶函数的图象特征： 偶函数的图象关于y轴对称， 奇函数的图象关于原点对称. 总结 例题讲解 (3) 根据定义下结论． (1) 先求定义域，看是否关于原点对称； (2) 再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； 一、判断函数的奇偶性的方法： 图像法 定义法 二、根据定义判断函数的奇偶性的步骤： 总结 巩固练习 偶函数 奇函数 定义 图象 定义域 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 关于y轴对称 关于原点对称 关于原点对称 课堂小结 用定义法判断函数的奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域， 并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)和f(x)的关系； ③作出相应结论。 课堂小结 例2、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，,－x＋1，x＜0.)) [解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． 解：(3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3 C．f(x)＝eq \r(x) D．f(x)＝x2，x∈(－1,1] 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 4．如图1­3­4，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________． $