专题12 函数与方程-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题12函数与方程 一、核心体系 函数与方程 二、关键能力 学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题． 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大. 四、高频考点 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆） Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 四、重点题型 考点一、求解函数零点 例1-1(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]所有零点之和为 例1-2用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01) 例1-3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 题组训练 1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ） A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1] 3．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次. 考点二、判断函数零点个数 例2-1设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______. 例2-2函数的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 例2-3已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 对点训练 1.函数，的零点个数是（ ）. A．0 B．1 C．2 D．3 2.函数的零点所在的大致区间为（ ） A． B． C． D． 3.【多选题】在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（ ） A． B． C． D． 3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 考点三、已知零点求参 例3-1.已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 例3-2.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 题组训练 1.已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 2.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点， 则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] 3.(2022·苏州质检)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________． 考点五、二次函数零点分布 例4．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数