专题2.1 不等式性质与基本不等式（九个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）

专题2.1不等式性质与基本不等式 知识点1 不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点2 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点3 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点4 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点1 作差(商)法比较大小 1．（多选）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 2．已知：、， 且，比较的大小. 3．已知都是正实数，比较与的大小． 4．设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）． 5．已知，，则的大小关系是_______． 6．（1）用作差法比较多项式与的大小； （2）已知，，判断与的大小关系，并证明. 重难点2 利用不等式的性质判断不等式 7．（多选）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 9．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设为正实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列命题是真命题的为（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 12．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点3 利用不等式的性质证明不等式 13．阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 14．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：； （2）设x，，比较与的大小. 15．已知，，（1）.求证：； （2）若，求证：； 16．（1）求证：； （2）求证：. 17．（1）若，，求证：； （2），，，求证： 18．已知，求证. 重难点4 利用不等式的性质求取值范围 19．已知，且，则的取值范围是______． 20．已知且，求4a-2b的取值范围（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知，则的取值范围是__________. 23．求解下列范围： (1)已知，，试求与的取值范围． (2)设，，若，，求的取值范围． 24．（1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 知识点5 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点6 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点5 利用基本不等式求最值 25．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 26．设，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 27．（多选）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．， D． 28．已知，求的最大值_________. 29．（1）已知，求函数的最大值. （2）已知，求函数的最大值. 30．当时，函数的最小值为________，此时________． 重难点6 利用基本不等式求含条件的最值 31．（多选）若，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 32．（多选）已知正数、，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为. B．的最大值为. C．的最小值为. D．的最小值为. 33．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 34．已知，则的最小值是______． 35．已知，，，则的最小值为____