28.3.2圆心角与圆周角（教学设计）-2023-2024学年冀教版九年级上学期数学

28.3.2 圆心角与圆周角 【教材分析】本节课是冀教版九年级上册第二十八章第三节第二课时，圆周角是在学生学习了圆，弦，弧，圆心角等概念和相关知识的基础上进行的，圆周角是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角。圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理，作图，计算中应用比较广泛。所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其他平面几何图形的桥梁和纽带，在教材中起着承上启下的作用。因此，让学生多角度，多层次地理解并掌握圆周角的定义与定理有着十分重要的作用。 【学情分析】在此之前，学生已经掌握了圆心角的定义，对同圆或等圆中圆心角及其所对弧、弦的关系有了认识，因此在学习圆周角的定义时，学生会对圆内的又一类角很有兴趣。同时圆周角的定义是类比圆心角得到的，可以让学生体会类比思想。而圆周角的定理证明用到了分类讨论的方法，分为三种情况证明，对学生来说有些难度。 【教学目标】 1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及推论 2、运用圆周角定理及推论进行简单的证明计算。 3、通过探究圆周角与圆心角的关系发展学生演绎推理的能力。 4、在探索圆周角定理的过程中，学会运用分类讨论、特殊到一般的数学思想解决问题 5、通过问题的提出、探究、解决，激发学生的好奇心和求知欲，并在活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 【教学重难点】重点：理解圆周角的概念及圆周角定理 难点：圆周角定理的证明 【教 具】多媒体、课件、思维导图 【教学过程】 1、 复习导入 1.圆心角的定义? 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 二、讲授新课 1.圆周角定义 圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况? 思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？ 引出圆周角定义 圆周角定义:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫圆周角. 特征：角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交 2. 探究圆周角定理并证明圆周角定理 问题：圆心与圆周角的位置关系有几种？ 虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况： （1） 圆心在圆周角的一边上 解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A ∵OA=OB， ∴∠A=∠B ∴∠AOC=2∠B. 即∠ABC = ∠AOC. 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （2）圆心在圆周角内部 提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得 ∠ABD = ∠AOD, ∠CBD = ∠COD ∴ ∠ABC = ∠AOC 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （3）圆心在圆周角外部 教师引导，学生完成证明。 （1）当圆心在圆周角的一边上时（演示图形） （2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系 当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧所得的圆心角度数的一半 例1如图，点A,B,C均在圆O上，∠OAB=46°，求∠ACB的度数 解：如图，连接OB ∵OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA=46°, ∴ ∠AOB=180°-2 ∠OAB =180°-2ˣ46° =88°, ∴ ∠ACB =1/2∠AOB=44° 推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ∵ AB是直径 ∴∠AC1B=90° ∵ ∠AC1B=90° ∴ AB是直径. 2.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗？ 解：∠BAC的度数为90° ∵∠BOC=180° ∴∠BAC=90° 如图，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？ 从而得出圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦直径． 三、练习 1.判断下列各图形中的角是不是圆周角. 2.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ） ( A.60 ° ) ( B.50 ° ) ( C.40 ° ) ( D.30 ° ) 3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40°