专题15 函数的应用（一）-【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题15 函数的应用（一） 考点目录 考点一 二次函数型函数模型的应用 考点二 分式型型函数模型的应用 考点三 分段函数型函数模型的应用 考点四 幂函数模型的应用 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 考点一：二次函数型函数模型的应用 例1：（2023·高一课时练习）改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x（天） 8 10 32 市场价y（元） 82 60 82 (1)根据上表数据，从下列函数：①；②中选取一个恰当的函数刻画纪念章市场价y与上市时间x的变化关系，并说明理由； (2)利用你选取的函数，求纪念章市场价的最低价格及其上市天数． 【答案】(1)选择模型，理由见解析 (2)10元，20天 【分析】（1）根据函数模型的变化趋势，结合题设给出的条件即可得出结果； （2）利用条件，将函数解析式求出来，得到，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）由表格可知，随着上市时间的增加，市场价先减少、后增大， 而函数为单调函数，严格单调递增或严格单调递减，故不符合题意，所以选择模型． （2）把，代入，得到：，解得， 故． 所以，上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元． 考点二：分式型型函数模型的应用 例2：（2023·全国·高一假期作业）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 【答案】(1)8小时 (2)1.6 【分析】（1）由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 考点三：分段函数型函数模型的应用 例3：（2023·全国·高一假期作业）某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元． (1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？ (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达式； (3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？ 【答案】(1)200 (2)， (3)225元；500元 【分析】（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为5元，由