专题14 幂函数-【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题14 幂函数 考点目录 考点一 幂函数的定义及其应用 考点二 幂函数的图像及其应用 考点三 幂函数的单调性及其应用 考点四 幂函数的奇偶性及其应用 通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 注：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数. 二、幂函数的图象及性质 1.会作出下列函数的图象 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 注：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤 (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 考点一：幂函数的定义 例1：（单选题）（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故. 故选：C 考点二：幂函数的图像及其应用 例2：（单选题）（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A. 考点三：幂函数的单调性 例3：（单选题）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误； 在为单调递增函数，B正确； 定义域为，在无意义，C错误； 在为单调递减函数，D错误，故选：B 例4：（单选题）（2023春·浙江·高一校联考期中）记，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ， ，由幂函数在上单调递增，所以.故选：C 考点四：幂函数的奇偶性 例5：（单选题）（2023·全国·高一假期作业）幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（　　） A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间 C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间 【详解】设幂函数为，则， 解得，所以，定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C. 例6：（单选题）（2023·高一课时练习）已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意. 当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意. 所以的值为.故选：A 考点一：幂函数的定义 一、单选题 1．（2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末）已知函数为幂函数，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C． D．1 2．（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 4．（2023秋·云南怒江·高一校考期末）若幂函数的图象经过，则（    ） A． B．3 C． D． 5．（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．（2