专题04 全等三角形基本模型（4大模型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题04 全等三角形基本模型（4大模型） 重难点题型归纳 【模型一：平移型】 【模型二：翻折型】 【模型三：旋转型】 【模型四：一线三垂直型】 【模型一：平移型】 【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证： . 【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E． 【变式1-2】已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC．求证：∠A＝∠D． 【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：． 【变式1-4】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若BF＝20，EC＝8，求BC的长． 【模型二：翻折型】 【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC． 【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 求证： ． 【变式2-2】如图，AD，BC相交于点O，且OB＝OC，OA＝OD．延长AD到F，延长DA到E，AE＝DF，连接CF，BE．求证：BE∥CF． 【变式2-3】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C． 【变式2-4】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC. 【变式2-5】如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B． 【变式2-6】如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 【变式2-7】如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在AB，AC上，连接DE、DF，且DE＝DF．求证：AE＝AF． 【变式2-8】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF． 求证：AF＝DE． 【模型三：旋转型】 【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO． 【变式3-1】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 【变式3-2】如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC． ​ 【典例4】如图，，，，求证：. 【变式4-1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． 求证：△AEC≌△BED． ​ 【变式4-2】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G. （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数. 【变式4-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线， （1）证明：△ABD≌△ACE； （2）证明：∠3＝∠1+∠2． 【变式4-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长． 【模型四：一线三垂直型】 【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN． （1）求证：MN＝BM+CN； （2）求证：∠BAC＝90°． 【变式5-1】王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝AC，BD∥AC，DE⊥AB于点E．求证：AB＝BD． 【变式5-3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． ​（1）求证：BE＝CF． （2）若∠BAC＝90°，AD＝2DE，求∠BAE的度数． 【变式5-4】在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 . （1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时， ①求证： ≌ ； ②求证： ； （2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 原创精品资源学