重难点专题03：含参不等式恒成立问题常见解法-2023-2024学年高一数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019必修第一册）

重难点专题03：含参不等式恒成立问题常见解法 考点01：判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有 1）对恒成立; 2）对恒成立 1．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分和，结合二次函数的图象分析得解. 【详解】① 若,则恒成立，满足题意； ② ,则， , ∴. 综上所述. 故选：D 2．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果. 【详解】由“关于的不等式对恒成立”，可得， 解得，则“”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 3.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; 【详解】由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； 4．已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出. 【详解】关于一元二次不等式的解集为R， ，即，解得 故. 考点02：最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）恒成立 2）恒成立 5．命题“，”为真命题的充要条件是________. 【答案】 【分析】原命题等价于使，求在上的最大值即可. 【详解】原命题可写为“，”， 当时，随增大而增大，则时，取最大值为3，所以. 故答案为： 6．若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最大值即可得解. 【详解】因为在区间内有解， 所以在区间内有解， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 所以，即. 故答案为：. 7．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是______. 【答案】（﹣1，+∞） 【分析】由已知可得m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解. 【详解】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题， 即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min， 又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1， 所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞）， 故答案为：（﹣1，+∞）. 8．关于x的不等式的解集中有且只有1个整数，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】构造二次函数，解集中只有一个整数，则应该是只有对称轴处的整数或距离对称轴最近的整数满足条件. 【详解】设，由已知的解集中只有一个整数， 因为函数的对称轴为，则需满足   即  解得， 故答案为：. 考点03：分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）恒成立 2）恒成立 9．若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. 10．若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 11．若，不等式恒成立，则实数m的最小值为___. 【答案】/ 【分析】构造新函数，利用二次函数的性质求得最大值，进而求得实数m的最小值. 【详解】时，不等式恒成立，即恒成立， 令 时，，则， 则，则， 故实数m的最小值为 故答案为： 12．若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为， 设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以. 故选：C. 考点04：变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 13．若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】可转化为. 设，则是关于m的一次型函数. 要使恒成立，只需， 解得. 故答案为： 14．对任意，不等