专题 三角形中求角度常用的思想方法-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十一章 三角形》 专题 三角形中求角度常用的思想方法 题型一 三角形角度计算中的“方程思想” 【例题1】如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝　 　． 【变式1-1】在一个三角形中，如果一个内角是其相邻外角的2倍，那么这个内角的度数是（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【变式1-2】在△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数． 【变式1-3】（2023春•江阴市期中）如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，PQ⊥OC于点Q，当∠ABC﹣∠BAC＝42°时，∠APQ的度数为 　 　°． 【变式1-4】如图，已知在△ABC中，DE∥CA，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝84°．求∠EDA的度数． 【变式1-5】在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数． 题型二 三角形角度计算中的“转化思想” 【例题2】如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝　 　． 【变式2-1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【变式2-2】（2022秋•洮北区校级月考）已知如图1，线段AB，CD相交于O点；连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了明些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数关系：　 ； （2）如图2，请利用（1）中结论，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【变式2-3】如图（1），在△OBC中，点A是BO延长线上的一点． （1）∠B＝32°，∠C＝46°，则∠AOC＝　 °，Q是BC边上一点，连接AQ交OC边于点P，如图（2），若∠A＝18°，则∠OPQ＝　 °，猜测：∠A+∠B+∠C与∠OPQ的大小关系是　 ； （2）将图（2）中的CO延长到点D，AQ延长到点E，连接DE，得到图（3），则∠AQB等于图中哪三个角的和？并说明理由； （3）求图（3）中∠A+∠D+∠B+∠E+∠C的度数． 【变式2-4】（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程） （2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程） （3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？ （4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由． 【变式2-5】阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论．这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形ABCD是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线AC，则四边形内角和就转化为△ACB和△ACD内角和的和，为360°． 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC（∠BDC＜180°）与∠B，∠C，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整； 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的 （即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸， 连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 　　 °； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　 　°． 题型三 三角形角度计算中的“分类讨论思想” 【例题3】（2023春•南岗区校级期中）已知，在△ABC中，∠C＝30°，AH是BC边上的高，若∠BAH＝40°，则∠BAC＝　 　°． 【变式3-1】在△ABC中，∠B＝20°，AD为BC边上的高，∠DAC＝30°，AE平分∠BAC交BC于点E，则∠DAE等于　 　度． 【变式3-2】（2023春•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△BDE是直角三角形，则∠CDE的度数可以是 　 　． 【变式3-3】（2022春•平房区期中）在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角