数学01（范围：人教A版2019必修一+必修二+选修一空间向量与立体几何）-2023年新高二数学开学摸底考试卷

2023年新高二开学摸底考试卷 数学·全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数，若的共轭复数为，则（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】利用复数运算法则和模长的性质计算即可. 【详解】. 故选：B 2．若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 【答案】A 【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系. 【详解】因为，是平面与的法向量， 则，所以两法向量平行，则平面与平行. 故选：A 3．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D. 4．已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可. 【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，， 所以， 所以，则为等边三角形，因为， 所以，设点M为BC的中点，则，所以， 所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线， 所以， 同理可得点AB，AC的中线过点G， 所以点G为的重心，故， 在等边中，M为BC的中点，则， 所以. 故选：A    5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，而，则可得，再由，易得，则可知，由此即可选出答案. 【详解】， 由，有，可得． 又由，有，有， 可得． 故选：D． 6．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解. 【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，    由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 7．若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为 ，结合可求得答案. 【详解】因为均为正数，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 8．三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案. 【详解】 如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接. 因为，，中点为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. 设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面. 因为，， 所以，，，. 设，，过作交于点，连接， 则，. 又平面，， 在中，有. 又在中，有. 所以，有，解得， 所以，. 所以，三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（    ） A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件 【答案】AD 【分析】先用列举法得到样本空间总事件及事件包含的事件，从而利用对立事件和互斥事件所满足的关系进行判断，得到答案. 【详解】将3名女生设为，两名男生设为， 任选两人组成学习小组，以下是样本空间包含的基本事件：， 其中事件包含， 事件包含， 事件包含， 事件包含， A选项，因为，且，所以事件A和D是对立事件，A正确； B选项，因为， 所