专题1.11 正方形的性质与判定（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.11 正方形的性质与判定（直通中考） 【要点回顾】 一、正方形的性质 （1）四边都相等；（2）四个角都是直角；（3）对称线垂直平分且相等；（4）是轴对称图形，也是中心对称图形。 二、正方形的判定 （1）定义法：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形； （2）判定定理1：对角线相等的菱形是正方形； （3）判定定理2：对角线相互垂直的矩形是正方形； （4）判定定理3：有一个内角是直角的菱形是正方形； （5）判定定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形。 一、单选题 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 3．（2023·四川广安·统考中考真题）下列说法正确的是（　　） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．在一组数据11，9，7，8，6，8，12，8中，众数和中位数都是8 D．甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差，乙组的方差，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定 4．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·山东滨州·统考中考真题）正方形的对角线相交于点O（如图1），如果绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（    ） A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线 6．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 7．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（　　） A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 8．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等         d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（    ） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 9．（2021·湖南常德·统考中考真题）如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2021·重庆·统考中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 二、填空题 11．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．    12．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）． 13．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________