专题1.2 空间向量及其运算的坐标表示-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 空间直角坐标系 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 知识点二 空间向量的坐标运算 向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 考点01 空间直角坐标系 【典例1】（2022秋·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（　　） A．关于轴对称 B．关于平面对称 C．关于坐标原点对称 D．关于平面对称 【典例2】（2022秋·高二课时练习）已知点，则满足的所有点构成的几何图形是（　　） A．以点为球心，以为半径的球面 B．以点为球心，以为半径的球面 C．以点为球心，以为半径的球面 D．以点为球心，以为半径的球面 【总结提升】 设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标． 考点02 空间向量的坐标运算 【典例3】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 ①a±b＝． ②a·b＝， 2.求向量的数量积的方法： ①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ； ②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 考点03 空间向量模长问题 【典例6】（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）已知向量，向量满足，则（    ） A．22 B．11 C． D． 【典例7】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【典例8】（浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期期中联考）已知在，，，若平面，则的最小值为___________. 【总结提升】 求向量模的方法： ①|a|＝； ②若a＝(x，y，z)，则|a|＝. 考点04 空间向量的共线、共面问题 【典例9】（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知，，若与共线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例10】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知向量共面，则实数的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例12】（2021秋·北京·高二北师大实验中学校考期中）如果空间向量不共面，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 考点05 空间向量的垂直问题 【典例12】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．的最大值为4 【典例13】（2022·高二课时练习）已知，，若，，且平面，则_________． 【典例14】（2023春·高二单元测试）已知空间三点，，设,.若与垂直，求满足的关系式. 【总结提升】 a⊥b⇔a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 考点06 空间向量的夹角问题 【典例15】（2022秋·高二课时练习）已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【典例16】（202