专题1.7 正方形的性质与判定（知识梳理与题型讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 正方形的性质与判定（知识梳理与考点讲解） 【知识点1】正方形的定义：有一个内角为90度的平行四边形叫做正方形。 1、 有一组邻边相等，并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形； 2、 用定义判定正方形的三个必要条件：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角。 【知识点2】正方形的性质 从边的角度看：四边都相等； 从角的角度看：四个角都是直角； 从对角线角度看：对称线垂直平分且相等； 从对称性角度看：是轴对称图形，也是中心对称图形。 【知识点3】正方形的判定 定义法：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形； 判定定理1：对角线相等的菱形是正方形； 判定定理2：对角线相互垂直的矩形是正方形； 判定定理3：有一个内角是直角的菱形是正方形； 判定定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形。 【考点一】特殊平行四边形性质与判定的理解 【例1】下列性质中，不是菱形和正方形共有的是（    ） A. 相邻两角都互补 B．相邻两边都相等 B．对角线所在直线是对称轴 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据正方形、菱形的性质依次分析各项即可判断． 解：正方形相邻两角都互补，相邻边相等，对角线相等且所在直线是对称轴，菱形相邻两角都互补，相邻两边都相等，对角线是对称轴，对角线垂直；则对角线相等不是共有性， 故选：D． 【点拨】本题考查的是正方形、菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质，注意 性质中的异同点． 【举一反三】 【变式】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点拨】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 【例2】下列命题中正确的是（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的判定逐项判断即可． 解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； C．对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点拨】此题考查了矩形、菱形、平行四边形，熟练掌握矩形、菱形、平行四边形的判定是解题的关键． 【举一反三】 【变式】下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法分别分析即可得出答案． 解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不合题意； C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意； D. 两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意． 故选D． 【点拨】本题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键． 【考点二】正方形的性质➼➻求线段长度、角度、面积 【例3】如图，、分别是正方形的边、上一点，且，求．    【答案】 【分析】延长使得，证明可得，进而求证可得，再求出即可解题． 解：延长使得，连接， 在和中， ， ∴， ，， 又，， 在和中， ， ， ， ， ．    【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的是关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【举一反三】 【变式1】已知：如图，是正方形对角线上的一点，且，垂足为，交于点．    求证：． 【分析】证明是等腰直角三角形，，再利用证明，推出， 据此即可证明结论成立． 解：证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角