2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲） 一.一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 解集 ax2＋bx＋c>0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c<0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合 注意事项： （1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数. (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.　 二.“三个二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3． 一元二次不等式的解法 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ 注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． 四.一元二次不等式恒成立问题 1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 一．解不含参数的一元二次不等式的方法 1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集. 2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解. 二．解含参数的一元二次不等式的方法 1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式； 2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； 3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．　 考点一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】（2023·湖南）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【一隅三反】 （2023·内蒙古赤峰）解下列不等式： (1) ； (2)； (3)； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 考点二 解含参数的一元二次不等式 【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式 【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式. 【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式. 【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式 3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式． 4．（2023·上海）解关于的不等式. 考点三 三个“二次”之间的关系 【例3-1】（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式的解集是