2.2 基本不等式（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式（精讲） 一.重要不等式 对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 二．基本不等式 1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．常用变形 (1)ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 三.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 1． 利用基本不等式求条件最值的常用方法 1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 二．利用基本不等式比较实数大小 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 三．利用基本不等式解决实际问题的步骤 1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. 2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. 3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值. 4.正确写出答案. 四．利用基本不等式证明不等式 1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件． 2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．　 考点一 直接型 【例1-1】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例1-2】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 2．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2023福建省）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023安徽）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点二 替换型 【例2-1】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【例2-2】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 【例2-3】（2023·浙江）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【一隅三反】 1．（2023西藏）已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 2．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2023春·江苏南京）已知非负数满足，则的最小值是___________. 4．（2023·重庆）已知正数，满足，则的最小值为__________. 考点三 配凑型 【例3-1】（2023·广西）函数 的最大值为________. 【例3-2】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【一隅三反】 1.（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为_________． 2．（2023·福建）已知，则函数的最小值是______． 3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________． 考点四 消元型 【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．1