1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲） 考点一 空间向量的坐标表示 【例1-1】（2023·河南）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【例1-3】．（2023春·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【一隅三反】 1．（2023·北京）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023山东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 3．（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.    (1)； (2)； (3)； 考点二 空间向量的坐标运算 【例2-1】（2023湖北）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设、，向量，，且，，则（          ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023陕西）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·福建省）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 3．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 考点三 向量的坐标表示的应用 【例3-1】（2023上海）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． （1）求 的模； （2）求cos〈，〉的值； （3）求证：A1B⊥C1M. 【一隅三反】 1．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 2．（2023广西）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 3．（2023天津）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，． (1)求； (2)求． 考点四 空间向量解决探索问题 【例4】（2022·高二课时练习）在直三棱柱中，，，，． (1)在上是否存在点，使得？ (2)在上是否存在点，使得平面？ 【一隅三反】 1．（2023·安徽滁州）已知． (1)求； (2)已知点在直线上，求的值； (3)当为何值时，与垂直？ 2．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲） 考点一 空间向量的坐标表示 【例1-1】（2023·河南）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，为的中点， ∴， ∴坐标为. 故选：D 【例1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【解析】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：