1.2 空间向量基本定理（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理（精讲） 考点一 空间向量的基底的概念及辨析 【例1】（2023春·河南开封）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023广东广州）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·湖南）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023湖南长沙）给出下列命题: ①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基； ③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面； ④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基. 其中真命题的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 空间向量基底表示向量 【例2-1】（2023·北京）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023春·江苏常州）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B． C． D．－1 【一隅三反】 2．（2023春·江苏常州）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（      ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________. 4．（2023·福建福州）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 考点三 空间向量基底的应用 【例3-1】（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【例3-2】（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【一隅三反】 1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 3．（2023广西）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理（精讲） 考点一 空间向量的基底的概念及辨析 【例1】（2023春·河南开封）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面，则， 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：C. 【一隅三反】 1．（2023广东广州）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量是不共面的三个向量， 对于A，，则向量共面，A不是； 对于B，，则向量共面，B不是； 对于D，，则向量共面，D不是； 对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得， 整理得，而向量不共面，则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C是. 故选：C 2．（2023春·湖南）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，无解. 所以，与构成一个基底. B.因为，所以，所以排除B； C.因为，所以，所以排除C； D.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，所以， 所以，与不构成一个基底，排除D. 故选：A 3．（2023湖南长沙）给出下列命题: ①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一