1.1 空间向量及运算（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1 空间向量及运算（精讲） 考点一 空间向量概念辨析 【例1-1】（2023湖南）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【一隅三反】 1.（2023·山东济南）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（2023·山东潍坊）（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 3．（2022·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 考点二 空间向量的线性运算 【例2-1】（2023·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 2．（2023北京）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 3．（2023春·广东广州）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； (2)； (3). 考点三 空间向量的共线共面问题 【例3-1】（2023·山东）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2023云南）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2023春·江苏宿迁）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【一隅三反】 1．（2023·江苏）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 2．（2023春·辽宁鞍山）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·甘肃）下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 4．（2023春·上海闵行）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 考点四 数量积 【例4-1】（2023·北京通州）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 【一隅三反】 1．（2023黑龙江）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且. (1)用，，表示； (2)若，求； (3)若，求证：平面. 2．（2023·福建）如图，正四面体的高的中点为，的中点为. （1）求证：，，两两垂直； （2）求. 3．（2023·吉林延边）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示． （2）求的长． （3）求与所成角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及运算（精讲） 考点一 空间向量概念辨析 【例1-1】（2023湖南）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同