专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量基底的判断】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 2 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 3 【题型4 正交分解】 4 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 5 【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】 7 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 9 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 10 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底的判断】 【例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·湖南·高一校联考期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二校考阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（2023·全国·高二专题练习）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·河南商丘·高二校联考期中）如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M，N分别是和的中点，且，则实数x，y，z的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 正交分解】 【例4】（2022·全国·高一假期作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022秋·山西大同·高二校考阶段练习）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【知识点3 用空间向量基本定理解