专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量数量积的计算】 2 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 2 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 3 【题型4 向量垂直的应用】 4 【题型5 投影向量的求解】 5 【知识点1 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【题型1 空间向量数量积的计算】 【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．60° B．120° C．30° D．90° 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（     ） A．5 B．6 C．4 D．8 【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【题型4 向量垂直的应用】 【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【知识点2 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β