专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题- 【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题 类型一、翻折问题 例1．（几何翻折）实践操作 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时， ；当点与点重合时， ； ②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 深入探究 （2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值． 拓展延伸 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 例2．（与函数结合）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． (1)求点A的坐标； (2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 【变式训练1】综合与实践 动手操作： 第一步：如图①，将矩形纸片沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为、，如图②； 第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线与直线重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为、，如图③； 第三步：在图③的基础上继续折叠，使与重合，得到图④，展开铺平，连接，交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕． 问题解决： (1)在图⑤中，的度数是 　 　； (2)在图⑤中，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)试判断线段与的数量关系，并证明； (4)若，则的长是 　 　．（提示：） 【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平； 根据以上操作，直接写出图1中的度数：______； (2)拓展应用 小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由； (3)迁移探究 如图3，已知正方形的边长为6cm，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【变式训练3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．   　　 　　 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，请判断图1中是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______，______； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 类型二、旋转问题 例1．（线段旋转）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______； 【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点． ①线段与的数量关系是_____________________． ②若，是的三等分点，则的面积为____________________． 例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）． ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 类型三、平移问题 例1．（线段的平移）已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点． (1)如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且； (2)如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接． ①依题意将图2补全； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 例2．（图形的平移）平行四边形中，于，且