第20讲 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第20讲 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置． (5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点． (6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆． (7)常用椭圆方程的设法 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 知识点2　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点3　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点4　直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝·＝ ·. 注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 （2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： 1、用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．　 2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 3、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 4、判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 5、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B