第十三章 轴对称-【做专题 冲高分】2023-2024学年八年级上册初二数学同步专项训练（人教版，大连专用）

14 第十三章 轴对称 重点提升练一 角平分线模型（二） 轴对称构造翻折全等 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线.沿对称轴将图形翻折，可构造翻折全等三角形，有如 下几种常见模型. 1.构造双垂直：如图，P 是∠MON 的平分线OP 上的一点，PA⊥OM 于点A.作图方法：过点P 作 PB⊥ON 于点B，可得PA=PB. 2.构造单垂直：如图，P 是∠MON 的平分线OP 上的一点，PA⊥OP 于点P，交OM 于点A.作图 方法：延长AP 交ON 于点B，可得△OPA≌△OPB. 3.构造等长线段：如图，P 是∠MON 的平分线OP 上的一点，A 为OM 边上的一点，连接AP.作图 方法：在ON 边上截取OB＝OA，连接PB，可得△OPA≌△OPB. 4.构造平行线：如图，P 是∠MON 的平分线OP 上的一点.作图方法：过点P 作PQ∥ON，交OM 于点Q，可得△OPQ 是等腰三角形. (1题图) (2题图) (3题图) (4题图) 【典例剖析】 已知OM 是∠AOB 的平分线,P 是射线OM 上一点,OP=a,点C,D 分别在射 线OA,OB 上,连接PC,PD. (1)如图1,当PC⊥OA,PD⊥OB 时,则PC 与PD 的数量关系是 ; (2)如图2,点C,D 在射线OA,OB 上滑动,且∠AOB=90°,当PC⊥PD 时,PC 与PD 在(1) 中的数量关系还成立吗? 说明理由; (3)在(2)的条件下,四边形ODPC 的面积是否会发生变化? 请说明理由. (典例图1) (典例图2) 数学·八年级上册RJ 15 【针对训练】 1.数学活动:探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题. (1)如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全 等三角形;(写出简单做法,不用证明两个三角形全等) (2)如图2,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分 线,AD,CE 相交于点F,则∠AFE= °,EF DF(填“>”“<”或“=”); (3)如图3,在△ABC 中,如果∠ACB≠90°,而(2)中的其他条件不变,那么你在(2)中所得 的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (1题图1) (1题图2) (1题图3) 16 2./ 2022抚顺市望花区期中 /　 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 是线段BC 上一动点, 点F 在线段AB 上,且∠FDB= 1 2∠ACB ,BE⊥DF,垂足E 在DF 的延长线上. (1)如图1,当点D 与点C 重合时,线段BE 和DF 的数量关系是 ; (2)如图2,当点D 不与点B,C 重合时,(1)的结论是否成立? 请说明理由. (2题图1) (2题图2) 数学·八年级上册RJ 17 重点提升练二 一线三等角模型（“K”型图） 在△ABC 中，∠ACB＝90 °，AC＝BC，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于点D，BE⊥MN 于点 E.当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，DE，AD，BE 满足的关系是：DE＝AD+BE；当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时，DE，AD，BE 满足的关系是：DE+BE＝AD；当直线MN 绕点 C 旋转到图3的位置时，DE，AD，BE 满足的关系是：BE-DE=AD. (图1) (图2) (图3) 【典例剖析】 (1)如图1,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥ AH 于点H,DE 与直线AH 相交于点G.求证:G 是DE 的中点; (2)如图2,在平面直角坐标系中,A 为平面内任意一点,点B 的坐标为(4,1).若△AOB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点A 的坐标. (典例图1) (典例图2) 18 【针对训练】 1./新考向·综合与实践 /　 阅读理解,自主探究: “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角的度数为90°,于是有三组 边相互垂直,所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定 存在全等三角形. (1)问题解决:如图1,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C 作直线DE, AD⊥DE 于点D,BE⊥DE 于点E,求证:△ADC≌△CEB; (2)问题探究:如图2,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C 作直线CE, AD⊥CE 于点D,BE⊥CE 于点E,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,求BE 的长; (3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,A(-