第十二章 全等三角形-【做专题 冲高分】2023-2024学年八年级上册初二数学同步专项训练（人教版，大连专用）

8 第十二章 全等三角形 重点提升练一 　倍长中线法构全等 在△ABC中，AD 是BC 边的中线. 方式1:直接倍长　　　　　　　　　　　　　　　　　 如图1，延长AD 到点E，使AD=DE，连接BE. (图1) 方式2:间接倍长 如图2，延长MD 到点N，使MD=DN，连接CN. 如图3，过点C 作CF⊥AD 于点F，过点B 作BE⊥AD 交AD 的延长线于点E. (图2) (图3) 【典例剖析】 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点E 在BC 的延长线上,CE=AB, ∠BAC=∠BCA.求证:AE=2AD. (典例图) 数学·八年级上册RJ 9 【针对训练】 1./新考向·综合与实践 /　 阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在△ABC 中, AB=7,AC=3,求BC 边上的中线AD 的取值范围. (1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法: ①如图1,延长AD 到点Q,使得DQ=AD; ②再连接BQ,把AB,AC,2AD 集中在△ABQ 中; ③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10,则AD 的取值范围是 . 感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把 分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. (2)请写出图1中AC 与BQ 的位置关系,并证明; (3)思考:如图2,AD 是△ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,试探 究线段AD 与EF 的数量和位置关系,并证明. (1题图1) (1题图2) 2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点E 在AC 边上,AE=BE,M 为BE 的中点,CM 的延长 线交AB 于点F,点D,G,H 分别在AB,CF,AC 上,且AD=BD,∠GDH=∠AEB. (1)求证:2∠BCF=∠BMF; (2)探索AH 与CG 之间的数量关系,并证明. (2题图) 10 重点提升练二 截长补短法构全等 在求一条线段等于另两条线段的和时，可以在长的线段上截取一条短的线段，转化为证剩下的线段与 另一条短的线段相等，或将一条短的线段延长到另一条短的线段上，转化为证组合的线段与长的线段 相等.这就是所谓的截长补短法. 例：如图1，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90 °，E，F 分别是边BC，CD 上的点， 且∠EAF＝ 1 2 ∠BAD.求证：EF=BE+FD.现有两种添加辅助线的方式：①如图2，延长EB 至点 G，使BG＝DF，连接AG；②如图3，延长FD 至点G，使DG＝BE，连接AG. 变式1：如图4，在四边形ABCD 中，AB＝AD，若∠ABC+∠D＝180 °，∠EAF＝ 1 2 ∠BAD.求 证：EF＝BE+FD.可添加辅助线:延长CB 至点M，使BM=DF，连接AM. 变式2：如图5，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180 °，E，F 分别是BC 的延长 线，CD 的延长线上的点，且∠EAF＝ 1 2 ∠BAD.求证：EF＝BE-FD.可添加辅助线：在BC 上截 取BG=DF，连接AG. (图1) (图2) (图3) (图4) (图5) 【典例剖析】 如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别为DC,BC 边上的点,且∠EAF=45°,连 接EF.求证:EF=BF+DE. (典例图) 数学·八年级上册RJ 11 【针对训练】 1.(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E,F 分别是BC,CD 上的 点,且EF=BE+DF,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF 之间的数量关系; 小 王 同 学 探 究 此 问 题 的 方 法 是:延 长 FD 到 点 G,使 DG=BE,连 接 AG,先 证 明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF 可得出结论,他的结论是 ; (2)如图2,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADF=180°,若E,F 分别是BC,CD 上 的点,且EF=BE+DF,上述结论是否仍然成立? 请说明理由. (1题图1) (1题图2) 2./ 2022大连市甘井子区育文中学月考 /　 数学课上,小白遇到这样一个问题: 如图1,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD=AE,求证:∠ABE=∠ACD. 在此问题的基础上,老师补充:如图2,过点A 作AF⊥BE 于点G,交BC 于点F,过点F 作 FP⊥CD 交BE 于点P,交CD 于点H,试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系,并说明 理由. 小白通过研究发现,∠AFB 与∠HFC 有某种数量关系;小明通过研究