专题 三角形中与高、角平分线结合的相关计算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十一章 三角形》 专题 三角形中与高、角平分线结合的相关计算 题型一 角平分线与高线的夹角 度 【例题1】（2023春•亭湖区期中）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　） A．20° B．30° C．18° D．15° 【变式1-1】（2022春•埇桥区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AD是∠BAC的角平分线，CE⊥AD于点E．若∠ECD＝20°，则∠ACB的度数是（　　） A．88° B．85° C．80° D．75° 【变式1-2】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（　　） A．20° B．60° C．70° D．80° 【变式1-3】（2023•南岗区模拟）△ABC中，∠BAC＝80°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠DAE＝80°，则∠BAD为 　 度． 【变式1-4】（2023春•江阴市期中）如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，PQ⊥OC于点Q，当∠ABC﹣∠BAC＝42°时，∠APQ的度数为 　 　°． 【变式1-5】（2023春•海州区期中）如图，点D为△ABC的角平分线AE延长线上的一点，过点D作DF⊥BC于点F，若∠B＝80°，∠C＝50°，则∠D的度数是 　 　． 【变式1-6】（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数． 【变式1-7】（2023春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上一动点，过点P作PE⊥AD交射线BC于点E． （1）当∠B＝30°，∠ACB＝70°时，求∠PED的度数； （2）当点P在线段AD上运动时（点P与点A、点D不重合），设∠PED＝α，∠ACB＝β，∠B＝γ（β＞γ）．猜想：的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由． 【变式1-8】（2023春•长安区期中）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D． （1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD（∠C﹣∠B）； （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由． 题型二 两条内角平分线的夹角 【例题2】（2023春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，△ABC的角平分线BD、CE交于点O，则∠BOC＝　 　． 【变式2-1】（2023春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点P．若∠APC＝130°，则∠B＝　 　°． 【变式2-2】（2022春•沭阳县月考）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【变式2-3】（2022秋•桓台县期中）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F． （1）若∠BAC＝80°，∠ACB＝40°，求∠AFC的度数； （2）若∠B＝80°，求∠AFC的度数； （3）若∠B＝x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数． 【变式2-4】（2022春•铁西区期末）如图，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），AD，BE分别是∠OAB和∠OBA的角平分线，交OB，OA于点D，E，且AD，BE交于点C． （1）若∠OBA＝34°，∠OAB＝38°，求∠ACE的度数； （2）若∠MON＝α，请直接写出∠ACE的度数． 【变式2-5】在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为 　 　； （2）点D在BA，AC边上运动． ①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC； ②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC三者之间的数量关系． 题型三 一条内角平分线与一条外角平分线的夹角 【例题3】（2023•青海一模）如图，在△ABC中