1.2 集合间的基本关系（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 第一章 集合与常用逻辑用语 问题引入 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如，等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ (1)； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 中的元素都在中. 中的元素都在中. ，元素一样. 包含在中 女生包含在这个班的学生中 两条边相等的三角形就是等腰三角形 新知探索 可以发现，在(1)中，集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合，或集合包含集合.(2)中的集合C与集合D也有这种关系. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图.这样，上述集合与集合的包含关系，可以用右图表示. 一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含于”). 新知探索 在(3)中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合，集合都是由所有等腰三角形组成的集合.因此，集合，都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素，同时，集合中任意一个元素也都是集合中的元素，这样集合的元素与集合的元素是一样的. 一般的如果集合中的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 也就是说，若且，则 思考1：请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 新知探索 如果集合但存在元素且，就称集合是集合的真子集，记作(或). 例如，在(1)中，. 但且，所以集合是集合的真子集， 即(或). 又如，在(2)中，C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合.但男生且男生，所以集合是集合的真子集， 即(或). 新知探索 我们知道，方程没有实数根，所以方程的实数根组成的集合中没有元素.此时，我们说方程的实数根组成的集合为空集. 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集. 思考2：你能举出几个空集的例子吗？ 新知探索 思考3：包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释. 注：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： (1)任何一个集合是它本身的子集，即 (2)对于集合如果，且那么. 例如，在(1)中，. 我们有；我们还有(或 新知探索 辨析1：判断正误： (1)任何集合都有子集和真子集. （ ） (2)集合 （ ） 答案：×，√. 辨析2：下列四个集合中，是空集的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 例析 例1.写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合的所有子集为， 真子集有， 设集合中有个元素，则： (1)集合的子集个数为：个； (2)集合的真子集个数为：个； (3)集合的非空真子集个数为：个. 集合中元素个数与子集个数的关系 例析 例2.判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1)是8的约数}； (2)是长方形}，是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1)因为3不是8的约数，所以集合不是集合的子集. (2)因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合是集合的子集. 练习 题型一：确定集合的子集、真子集 例1.已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( ). A.6 B.7 C.8 D.9 答案： 解：由题意可以确定集合必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合的元素个数分类如下： 含有3个元素： 含有4个元素： 含有5个元素： 故满足条件的集合为 练习 变1.集合的真子集个数是( ). A.9 B.8 C.7 D.6 答案：C. 解：当时，当时， 当时，当时， ∵函数，在上是减函数； ∴时， ∴ ∴该集合的所有真子集为： ∴该集合的真子集个数为7. 练习 方法技巧： 求集合子集、真子集个数的3个步骤 判断 分类 列举 根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况 根据集合中元素的多少进行分类 采用列举法逐一写出每种情况的子集 练习 题