第02讲 导数与函数的单调性（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲　导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性． 3．函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 一．函数图象与导函数图象的关系 例1．（1）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) （2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) （3）已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) （4）已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （5）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 【复习指导】：(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． 一．不含参的函数的单调性 例2．（1）函数的单调递减区间为（     ） A． B． C． D． （2）函数的单调递增区间（     ） A． B． C． D． （3）函数的单调减区间是（     ） A． B． C． D． （4）若函数，则的一个单调递增区间是（     ） A． B． C． D． （5）函数的单调递减区间为（     ） A． B． C． D． （6）已知函数，，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 二．含参的函数的单调性 例3．（1）求函数的单调区间． （2）已知函数，其中．讨论的单调性． （3）已知函数. 讨论的单调性． （4）已知函数．讨论的单调性． （5）已知函数．求函数的单调区间． （6）求函数的单调区间. 【复习指导】：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 三．函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 例4．（1）已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A．f >f(1)>f  B．f(1)>f >f  C．f >f(1)>f  D．f >f >f(1) （2）已知实数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）已知，，，其中a，b，，则（    ） A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b （4）若为奇函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． （5）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （6）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为 ． 命题点2　根据函数的单调性求参数的值(范围) 例5．（1）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． （2）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． （4）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． （